1. Si consideri il poliedro

$$ P=\{x\in \R ^3:Mx\leq q\} $$

dove

$$ M=\begin{bmatrix}2&\alpha&1\\\alpha&0&1\\1&2&1\\\alpha-1&2&2\\1&0&1\\2&1&-3\end{bmatrix}\space \space \space\space \text{e}\space \space \space \space q=\begin{bmatrix}4-\alpha\\\alpha+1\\1\\0\\2\\\beta\end{bmatrix} $$

Sia inoltre $\overline x=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}$

1. Identificare per quali valori di $\alpha$ e $\beta$ il punto $\overline x$ appartiene a $P$
2. Fissare $\beta=2$, identificare eventuali valori di $\alpha$ per i quali il punto $\overline x$ è un vertice per $P$

• Soluzione

1. Si consideri il problema

$$ \begin{matrix}min_x&c^Tx\\ sogg.a&Ax=b\\&x\geq0\end{matrix} $$

con

$$ A=\begin{bmatrix}1&\alpha&2&-2&1&\alpha+2\\0&2&-1&\alpha-3&1&5-\alpha\\1&0&2&-2&1&2\end{bmatrix}\space \space \space b=\begin{bmatrix}3\alpha-2\\\alpha+2\\\alpha-2\end{bmatrix}\\ c^T\begin{bmatrix}\alpha-5,\alpha-2,7,-\alpha-1,1,\beta\end{bmatrix} $$

Fissato $\beta=2\alpha+11$:

1. Determinare per quali valori di $\alpha$, $B=\{2,4,5\}$ è una base;
2. determinare per quali valori di $\alpha$, $B$ è una base ammissibile ed identificare la BFS associata. Determinare se questa BFS è degenere o non degenere;
3. determinare per quali valori di $\alpha$, $B$ è una base ottima e, senza ulteriori calcoli, identificare una soluzione ottima del problema primale ed una soluzione ottima del problema duale

Fissato $\alpha=10$ e $\beta=2\alpha-5$:

1. determinare se la base corrente è ottima;
2. qualora la base corrente non sia ottima, identificare variabile entrante ed uscente.